Phát biểu bởi John Wheeler, lý thuyết hình học về hấp dẫn của Einstein có thể tóm tắt thành: không thời gian nói cho vật chất cách di chuyển, vật chất nói cho không thời gian cách để cong.[16] Điều này được giải thích trong ba phần sau, với khám phá chuyển động của các hạt thử, kiểm tra tính chất của vật chất với ý nghĩa là nguồn của hấp dẫn, và cuối cùng, giới thiệu các phương trình Einstein, liên hệ các tính chất của vật chất với độ cong của không thời gian.

Thăm dò trường hấp dẫn

Các đường trắc địa hội tụ: hai đường kinh tuyến (xanh) bắt đầu song song tại xích đạo (đỏ) nhưng gặp nhau tại hai cực.

Để vẽ ra một bản đồ ảnh hưởng hấp dẫn của một vật thể, sẽ rất hữu ích khi sử dụng cái các nhà vật lý gọi là các hạt thử hay hạt thăm dò: các hạt này bị ảnh hưởng của trường hấp dẫn, nhưng rất nhỏ và nhẹ nên chúng ta có thể bỏ qua ảnh hưởng hấp dẫn của chính chúng. Khi không có lực hấp dẫn và những ngoại lực khác, một hạt thử di chuyển dọc theo một đường thẳng với vận tốc không đổi. Theo ngôn ngữ của không thời gian, điều này tương đương với khi nói rằng những hạt thử di chuyển theo đường toàn cục trong không thời gian. Khi có mặt hấp dẫn, không thời gian là phi Euclid, hoặc bị cong, và trong không thời gian cong đường toàn cục thẳng không tồn tại. Thay vào đó, các hạt thử sẽ di chuyển theo những đường gọi là đường trắc địa, là đường "ngắn nhất có thể được". Một ví dụ tương tự đơn giản như sau: Một đường trắc địa là đường ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt của Trái Đất và là một cung tròn của một đường tròn lớn, giống như các kinh tuyến hay xích đạo. Những đường này rõ ràng là không thẳng, đơn giản chỉ vì chúng phải theo độ cong của bề mặt Trái Đất. Tuy vậy, chúng là đường thẳng nhất có thể (ngắn nhất) tuân theo sự ràng buộc này.

Các tính chất của các đường trắc địa khác so với các đường thẳng. Ví dụ, trên một mặt phẳng, các đường thẳng song song không bao giờ cắt nhau, nhưng điều này không còn đúng với các đường trắc địa trên bề mặt của Trái Đất: ví dụ, các kinh tuyến là song song với nhau tại xích đạo, nhưng cắt nhau tại các cực của Trái Đất. Tương tự, các đường toàn cục của các hạt thử rơi tự do là các đường trắc địa trong không thời gian, các đường thẳng nhất có thể trong không thời gian. Nhưng vẫn có một sự khác biệt quan trọng giữa chúng và các đường thẳng hoàn toàn xác định trong không thời gian phi hấp dẫn của thuyết tương đối đặc biệt. Trong thuyết tương đối đặc biệt, các đường trắc địa song song vẫn luôn song song với nhau. Trong một trường hấp dẫn với các hiệu ứng thủy triều, nói chung, điều này sẽ không đúng trong từng trường hợp. Ví dụ, nếu hai vật ban đầu ở cách xa nhau, sau đó bị hút dần về tâm Trái Đất do trường hấp dẫn, sẽ dịch chuyển gần về nhau khi chúng rơi gần về tâm Trái Đất.[17]

So sánh với các hành tinh và các thiên thể khác, các vật thể trong đời sống hàng ngày (con người, ôtô, nhà, thậm chí là núi) có khối lượng khá nhỏ. Nơi những vật này được đề cập đến, các định luật chi phối cư xử của các hạt thử vẫn còn đúng khi miêu tả điều gì sẽ xảy ra. Đặc biệt, để làm lệch hướng một hạt thử từ đường trắc địa của nó, thì phải có một ngoại lực tác dụng lên nó. Một người ngồi trên một chiếc ghế đang hướng theo một đường trắc địa, hay là rơi tự do về tâm Trái Đất. Nhưng chiếc ghế đã tác động một ngoại lực ngược lại ngăn không cho người này rơi xuống. Theo cách này, thuyết tương đối rộng giải thích các kinh nghiệm hàng ngày về hấp dẫn trên bề mặt Trái Đất không phải là kéo xuống dưới do lực hấp dẫn, mà là sự đẩy ngược lại của các ngoại lực. Những lực này làm lệch mọi vật đứng yên trên bề mặt Trái Đất ra khỏi đường trắc địa mà đáng lẽ chúng phải đi theo.[18] Đối với các vật thể mà ảnh hưởng hấp dẫn của chúng không thể bỏ qua, các định luật của chuyển động phức tạp hơn so với các hạt thử, và nó vẫn còn đúng khi nói rằng không thời gian bảo cho vật chất cách chuyển động.[19]

Các nguồn của hấp dẫn

Trong mô hình của Newton về hấp dẫn, lực hấp dẫn là do vật chất. Một cách chính xác hơn, nó là do một tính chất xác định của các đối tượng vật chất: khối lượng của chúng. Trong lý thuyết của Einstein và các lý thuyết hấp dẫn khác, độ cong tại mỗi điểm trong không thời gian cũng là do sự có mặt của vật chất. Cũng vậy, khối lượng cũng là một đặc tính cơ bản để xác định ảnh hưởng hấp dẫn của vật chất. Nhưng trong một lý thuyết hấp dẫn tương đối tính, khối lượng không phải là nguồn hấp dẫn duy nhất. Thuyết tương đối liên kết khối lượng với năng lượng, và năng lượng với động lượng.

Sự tương đương giữa khối lượng và năng lượng, như được biểu diễn trong công thức E = mc2, có lẽ là hệ quả quan trọng nổi tiếng nhất của thuyết tương đối hẹp. Trong thuyết tương đối, khối lượng và năng lượng là hai cách khác nhau để miêu tả cùng một đại lượng vật lý. Nếu một hệ vật lý có năng lượng, nó cũng có một khối lượng tương ứng, và ngược lại. Đặc biệt, mọi tính chất của một vật mà liên quan đến năng lượng, như là nhiệt độ hoặc năng lượng liên kết của các hệ như hạt nhân nguyên tử hay các phân tử, đóng góp vào khối lượng của vật đó, và từ đó hoạt động như là các nguồn của hấp dẫn.[20]

Trong thuyết tương đối đặc biệt, năng lượng liên hệ mật thiết với động lượng. Trong lý thuyết này, giống như không gian và thời gian chỉ là hai khía cạnh khác nhau của một thực thể hoàn chỉnh gọi là không thời gian, năng lượng và động lượng chỉ là các mặt khác nhau của một đại lượng thống nhất, bốn chiều mà các nhà vật lý gọi là bốn-động lượng. Hệ quả theo đó, nếu năng lượng là một nguồn của hấp dẫn thì động lượng cũng phải là một nguồn như thế. Điều này cũng đúng đối với các đại lượng liên hệ trực tiếp với năng lượng và động lượng, gọi là áp suất bên trong và sự kéo. Cùng với nhau, trong thuyết tương đối tổng quát, khối lượng, năng lượng, động lượng, áp suất và sự kéo làm thành các nguồn của hấp dẫn: chúng là vật chất bảo cho không thời gian cách cong như thế nào. Theo dạng toán học của lý thuyết, những đại lượng này là một khía cạnh của một đại lượng vật lý tổng quát hơn gọi là tenxơ năng lượng-động lượng.[21]

Phương trình trường Einstein

Phương trình trường Einstein là mảnh ghép trung tâm của thuyết tương đối tổng quát. Chúng cung cấp một công thức chính xác của mối liên hệ giữa hình học không thời gian và các tính chất của vật chất, sử dụng ngôn ngữ của toán học. Cụ thể hơn, chúng được thiết lập nhờ các khái niệm của hình học Riemann, trong đó các tính chất hình học của một không gian (hoặc không thời gian) được miêu tả bởi một đại lượng gọi là metric. Metric chứa các thông tin cần thiết để tính toán ra những khái niệm hình học cơ bản đó là khoảng cách và góc trong không gian cong (hoặc không thời gian cong).

Các khoảng cách tại các vĩ độ khác nhau tương ứng với hai kinh tuyến lệch nhau 30 độ.

Một mặt cầu giống như Trái Đất cung cấp một ví dụ đơn giản. Vị trí của bất kì một điểm nào trên bề mặt có thể được miêu tả bằng hai tọa độ: độ vĩ và độ kinh địa lý. Không giống như tọa độ Đề Các trong một mặt phẳng, hiệu các tọa độ là không giống nhau về khoảng cách trên một mặt, như được chỉ ra ở hình bên phải: đối với một người tại xích đạo, di chuyển sang 30 độ kinh tây (đường màu hồng) tương ứng với khoảng cách gần 3.300 ki-lô-mét (2.051 mi). Mặt khác một người khác tại vĩ độ 55 độ, di chuyển sang 30 độ kinh tây sẽ chỉ tương ứng với khoảng cách 1.900 ki-lô-mét (1.181 mi). Các tọa độ do vậy không cung cấp đủ thông tin để miêu tả hình học của một mặt cầu, hay hình học của không gian hoặc không thời gian phức tạp hơn. Các thông tin chính xác được hàm chứa trong metric, là một hàm xác định tại mỗi điểm của bề mặt (hoặc không gian, hoặc không thời gian) và liên hệ theo khoảng cách hiệu giữa các tọa độ khác nhau. Những đại lượng thường gặp khác trong hình học, như độ dài của một đường cong bất kì, hay góc tại nơi hai đường cong cắt nhau, có thể được tính toán từ hàm metric này.[22]

Hàm metric và tốc độ thay đổi của nó từ điểm này đến điểm khác có thể được sử dụng để định nghĩa một đại lượng hình học gọi là tenxơ độ cong Riemann, tenxơ này miêu tả một cách chính xác không gian (hoặc không thời gian) bị cong như thế nào tại mỗi điểm. Như đã được đề cập bên trên, thành phần vật chất trong không thời gian xác định một đại lượng khác, tenxơ năng lượng-động lượng T, và nguyên lý "không thời gian nói với vật chất cách di chuyển, và vật chất nói với không thời gian cong như thế nào" có nghĩa là những tenxơ này phải được liên hệ với nhau. Einstein đã thiết lập lên quan hệ này bằng cách sử dụng tenxơ độ cong Riemann và metric để xác định một đại lượng hình học khác gọi là tenxơ Einstein, nó miêu tả một số khía cạnh cách không thời gian cong. Phương trình trường Einstein được viết thành

G = 8 π G c 4 T {\displaystyle \mathbf {G} ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\mathbf {T} }

theo đó, nếu bỏ qua các hằng số, đại lượng G (đo độ cong) phải bằng với đại lượng T (đo thành phần vật chất). Các hằng số trong phương trình phản ánh các lý thuyết khác nhau được kết hợp vào trong thuyết tương đối rộng: G là hằng số hấp dẫn đã được biểu diễn trong mô hình hấp dẫn của Newton; c là vận tốc ánh sáng, một hằng số quan trọng trong thuyết tương đối hẹp; và π là một hằng số cơ bản của hình học.

Phương trình này thường được gọi theo số nhiều Hệ phương trình trường Einstein, do các đại lượng G và T, mỗi đại lượng được xác định bởi một số hàm của các tọa độ trong không thời gian, và các phương trình đặt sự bằng nhau với mỗi các hàm thành phần.[23]Một nghiệm của những phương trình này miêu tả cấu trúc hình học cụ thể của không gian và thời gian; ví dụ, nghiệm Schwarzschild miêu tả hình học xung quanh một vật thể hình cầu, không quay như là các ngôi sao hoặc một lỗ đen, trong khi nghiệm Kerr miêu tả một lỗ đen quay. Lại có những nghiệm (lời giải) khác miêu tả sóng hấp dẫn hay vũ trụ đang giãn nở trong nghiệm Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker. Lời giải đơn giản nhất là không thời gian không bị cong Minkowski, không thời gian được miêu tả trong thuyết tương đối đặc biệt.[24]